Cet exercice fait suite à la fiche TD1 exercices 2 et 5.
L'industriel est disposé à acheter deux échantillons ${\mathbf{ y^A }}$ et ${\mathbf{ y^B }}$ pour lesquels il obtient $\mathtt{mean(yA)=0.204}$, $\mathtt{mean(yB)=0.172}$, $\mathtt{sd(yB)=0.5610087}$.
Est-ce que le produit est rentable au risque maximal de type I fixé à $\alpha=5\%$ ?
(1)
Proposer la rédaction standard associée à la règle de décision via le quantile pour le produit A.
Réponse
Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(p^{A}=15\%\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(p^{A}>15\%\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) :
$$
\widehat{ \delta_{p^{A},15\%} }\left({\mathbf{ { Y^{A} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ p^{A} }\left({\mathbf{ { Y^{A} } }}\right)-15\%}{
\sqrt{\frac{15\%\times (1-15\%)} {1000}}
}} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1)
$$
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si
\(\widehat{ \delta_{p^{A},15\%} }\left({\mathbf{ { y^{A} } }}\right) > \delta^+_{lim,5\%}\)
Conclusion :
puisqu'au vu des données,
$$\begin{aligned}
\widehat{ \delta_{p^{A},15\%} }\left({\mathbf{ { y^{A} } }}\right) &\overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{(mean(yA)-0.15)/sqrt(0.15*(1-0.15)/1000)}\simeq 4.78232\\& > \delta^+_{lim,5\%} \overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{qnorm(1-.05)}\simeq1.644854
\end{aligned}$$
on peut (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le produit A est rentable.
Testez-vous en proposant l'instruction R fournissant la décision via la règle de décision sur le quantile pour le produit A ($\textit{Indication}$: réponse attendue VRAI ou FAUX).
Résultat
(2) Proposer la rédaction standard associée à la règle de décision via le quantile pour le produit B.
Réponse
Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(\mu^{B}=0.15\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(\mu^{B}>0.15\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) :
$$
\widehat{ \delta_{\mu^{B},0.15} }\left({\mathbf{ { Y^{B} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ \mu^{B} }\left({\mathbf{ { Y^{B} } }}\right)-0.15}{
\widehat{ \sigma_{\widehat{ \mu^{B}}} }\left({\mathbf{ { Y^{B} } }}\right)
}} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1)
$$
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si
\(\widehat{ \delta_{\mu^{B},0.15} }\left({\mathbf{ { y^{B} } }}\right) > \delta^+_{lim,5\%}\)
Conclusion :
puisqu'au vu des données,
$$\begin{aligned}
\widehat{ \delta_{\mu^{B},0.15} }\left({\mathbf{ { y^{B} } }}\right) &\overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{(mean(yB)-0.15)/seMean(yB)}\simeq 1.24009\\&\ngtr \delta^+_{lim,5\%} \overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{qnorm(1-.05)}\simeq1.644854
\end{aligned}$$
on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le produit B est rentable.
Testez-vous en proposant l'instruction R fournissant la décision via la règle de décision sur le quantile pour le produit B ($\textit{Indication}$: réponse attendue VRAI ou FAUX).
Résultat
(3) Proposer la rédaction standard associée à la règle de décision via la p-valeur pour le produit A.
Réponse
Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(p^{A}=15\%\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(p^{A}>15\%\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) :
$$
\widehat{ \delta_{p^{A},15\%} }\left({\mathbf{ { Y^{A} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ p^{A} }\left({\mathbf{ { Y^{A} } }}\right)-15\%}{
\sqrt{\frac{15\%\times (1-15\%)} {1000}}
}} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1)
$$
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si
p-valeur (droite) < \(5\%\)
Conclusion :
puisqu'au vu des données,
$$
p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((mean(yA)-0.15)/sqrt(0.15*(1-0.15)/1000))} \simeq 0.0\% < 5\%,
$$
on peut (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le produit A est rentable.
Testez-vous en proposant l'instruction R fournissant la p-valeur.
Résultat
(4) Proposer la rédaction standard associée à la règle de décision via la p-valeur pour le produit B.
Réponse
Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(\mu^{B}=0.15\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(\mu^{B}>0.15\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) :
$$
\widehat{ \delta_{\mu^{B},0.15} }\left({\mathbf{ { Y^{B} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ \mu^{B} }\left({\mathbf{ { Y^{B} } }}\right)-0.15}{
\widehat{ \sigma_{\widehat{ \mu^{B}}} }\left({\mathbf{ { Y^{B} } }}\right)
}} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1)
$$
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si
p-valeur (droite) < \(5\%\)
Conclusion :
puisqu'au vu des données,
$$
p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((mean(yB)-0.15)/seMean(yB))} \simeq 10.75\%\nless5\%,
$$
on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le produit B est rentable.
Testez-vous en proposant l'instruction R fournissant la p-valeur.
Résultat
(5) Proposer les 4 rédactions abrégées associées aux4 questions précédentes.
Réponse
1)
Affirmation d'intérêt : \(\mathbf{H}_1:\) \(p^{A}>15\%\)
Application numérique : puisqu'au vu des données,
$$\begin{aligned}
\widehat{ \delta_{p^{A},15\%} }\left({\mathbf{ { y^{A} } }}\right) &\overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{(mean(yA)-0.15)/sqrt(0.15*(1-0.15)/1000)}\simeq 4.78232\\& > \delta^+_{lim,5\%} \overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{qnorm(1-.05)}\simeq1.644854
\end{aligned}$$
on peut (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le produit A est rentable.
2)
Affirmation d'intérêt : \(\mathbf{H}_1:\) \(\mu^{B}>0.15\)
Application numérique : puisqu'au vu des données,
$$\begin{aligned}
\widehat{ \delta_{\mu^{B},0.15} }\left({\mathbf{ { y^{B} } }}\right) &\overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{(mean(yB)-0.15)/seMean(yB)}\simeq 1.24009\\&\ngtr \delta^+_{lim,5\%} \overset{\mathtt{R}}{=} \mathtt{qnorm(1-.05)}\simeq1.644854
\end{aligned}$$
on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le produit B est rentable.
3)
Affirmation d'intérêt : \(\mathbf{H}_1:\) \(p^{A}>15\%\)
Application numérique : puisqu'au vu des données,
$$
p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((mean(yA)-0.15)/sqrt(0.15*(1-0.15)/1000))} \simeq 0.0\% < 5\%,
$$
on peut (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le produit A est rentable.
4)
Affirmation d'intérêt : \(\mathbf{H}_1:\) \(\mu^{B}>0.15\)
Application numérique : puisqu'au vu des données,
$$
p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((mean(yB)-0.15)/seMean(yB))} \simeq 10.75\%\nless5\%,
$$
on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le produit B est rentable.