Une certaine agence pour l'emploi affirme que le taux de
chômage en France serait cette année inférieur à $10\%$. Une
enquête auprès d'un échantillon de $200$ personnes choisies au hasard
dans la population active donne $16$ chômeurs.
(1) Si on envisage un risque d'erreur de première
espèce
(maximal)
fixé à $5\%$, peut-on confirmer l'affirmation avancée par l'agence.
R>16/200
[1] 0.08R># deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)R>deltaEst.H0
[1] -0.942809R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 0.1728893
Réponse
Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(p^{C}=10\%\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(p^{C}<10\%\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) :
\[
\widehat{ \delta_{p^{C},10\%} }\left({\mathbf{ { Y^{C} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ p^{C} }\left({\mathbf{ { Y^{C} } }}\right)-10\%}{
\sqrt{\frac{10\%\times (1-10\%)} {200}}
}} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1)
\]
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si
p-valeur (gauche) < \(5\%\)
Conclusion :
puisqu'au vu des données,
$$
p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{pnorm((16/200-0.1)/sqrt(0.1*(1-0.1)/200))} \simeq 17.29\%\nless5\%,
$$
on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le taux de chômage en France serait cette année inférieur à $10\%$.
(2)Peut-on pour autant montrer que l'agence pour
l'emploi a effectué une mauvaise analyse?
Réponse
Affirmation d'intérêt : \(\mathbf{H}_1:\) \(p^{C}>10\%\)
Application numérique : puisqu'au vu des données,
$$
p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((16/200-0.1)/sqrt(0.1*(1-0.1)/200))} \simeq 82.71\%\nless5\%,
$$
on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que le taux de chômage en France serait cette année inférieur à $10\%$.
On ne peut donc vraiment rien conclure à partir des données!