Dyndoc Session

Exercice 32 : Contentement du menu d'un restaurant

Un restaurateur s'intéresse au contentement de sa carte auprès de ses clients s'exprimant par une note entre 0 et 10. Il considère que le contentement est satisfaisant si la note moyenne (que l'on notera $\mu^{AV}$) de l'ensemble de ses clients potentiels est strictement supérieure à 6. Pour appuyer son analyse, il interroge 40 individus et stocke les informations dans un vecteur $\mathtt{yAV}$ (les traitements R sont fournis en fin de document).
(1) Avec un risque d'erreur de première espèce préfixé à $5\%$, le restaurateur parvient-il à montrer que le niveau de satisfaction de sa carte est satisfaisant ?

R> yAV
 [1] 8 7 6 7 9 7 6 4 7 5 8 7 6 6 6 6 7 5 7 6 7 7 8 5 4 7 6 5 7 6 8 6 7 7 7 8 5 8
[39] 5 5
R> mean(yAV)
[1] 6.45
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 0.9922594

Hypothèses de test : $\mathbf{H}_0:$ $\mu^{AV}=6$ vs $\mathbf{H}_1:$ $\mu^{AV}>6$
Statistique de test sous $\mathbf{H}_0$ : $$ \widehat{ \delta_{\mu^{AV},6} }\left({\bold{ { Y^{AV} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ \mu^{AV} }\left({\bold{ { Y^{AV} } }}\right)-6}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ \mu^{AV}}} }\left({\bold{ { Y^{AV} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) $$
Règle de décision : Accepter $\mathbf{H}_1$ si p-valeur (droite) < $5\%$
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((mean(yAV)-6)/seMean(yAV))} \simeq 0.77\% < 5\%, $$ on peut (plutôt) penser (avec un risque de $5\%$) que le contentement des clients est satisfaisant.

Afin d'améliorer la qualité de son établissement, le restaurateur envisage une modification de sa carte. Il décidera de maintenir cette nouvelle carte si les clients sont bien plus satisfaits qu'auparavant. Pour appuyer son analyse, il interroge rapidement 30 \textbf{nouveaux} individus et stocke les informations dans le vecteur $\mathtt{yAP1}$ (voir fin exercice). On notera $\mu^{AP1}$ la note moyenne de satisfaction des clients de la nouvelle carte.
(2) Le restaurateur juge sa nouvelle carte plus attractive si la note moyenne de satisfaction de sa clientèle a augmenté de 1 (de l'ancienne à la nouvelle carte). Peut-on le prouver au seuil de $5\%$ ?

R> yAP1
 [1]  9  9  9  6  7  7  9  6  8  6 10 11  6  9  8  8  6 10  7 10  6  8  7  8  9
[26]  6  9  9  6  7
R> mean(yAP1)
[1] 7.866667
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 0.8957027

Préliminaire : puisque $\mathtt{(mean(yAP1)-mean(yAV)-1)}\simeq0.4166667$ est du même signe (i.e. positif) que $\mathtt{deltaEst.H0}$ (car p-valeur gauche supérieure à $50\%$), on a :

paramètre d'intérêt : $d_\mu=\mu^{AP1}-\mu^{AV}$
sa future estimation : $\widehat{ d_\mu }\left({\bold{ { Y^{AP1},Y^{AV} } }}\right)=\widehat{ \mu^{AP1} }\left({\bold{ { Y^{AP1} } }}\right)-\widehat{ \mu^{AV} }\left({\bold{ { Y^{AV} } }}\right)$

Hypothèses de test : $\mathbf{H}_0:$ $d_\mu=1$ vs $\mathbf{H}_1:$ $d_\mu>1$
Statistique de test sous $\mathbf{H}_0$ : $$ \widehat{ \delta_{d_\mu,1} }\left({\bold{ { Y^{AP1},Y^{AV} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ d_\mu }\left({\bold{ { Y^{AP1},Y^{AV} } }}\right)-1}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ d_\mu}} }\left({\bold{ { Y^{AP1},Y^{AV} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) $$
Règle de décision : Accepter $\mathbf{H}_1$ si p-valeur (droite) < $5\%$
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((mean(yAP1)-mean(yAV)-1)/seDMean(yAP1,yAV))} \simeq 10.43\%\nless5\%, $$ on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de $5\%$) que le niveau de satisfaction de sa carte a augmenté de 1.

Dans l'expectative, le restaurateur décide d'interroger les 40 clients qui s'étaient déjà prononcés sur la première carte, pensant qu'ils seraient plus à même de juger la nouvelle carte. Il reprend contact avec ces 40 clients et les invitent à se prononcer sur sa nouvelle carte. On stocke les notes associées à la nouvelle carte dans le vecteur $\mathtt{yAP2}$ (voir fin exercice).
(3) Avec un risque d'erreur de première espèce préfixé à $5\%$, le restaurateur parvient-il cette fois-ci à montrer que le niveau de satisfaction de sa carte a augmenté de 1 ? (Indication : faites attention au fait que les mêmes individus ont été interrogés)

R> yAP2
 [1]  8 10  8  8  9  8  9  5 10  6 10  7  7  6  6  7 11  7 12  6  7  7 10  6  7
[26]  7  7  5  8  8 10  6  9  8  8  9  5 10  7  8
R> mean(yAP2)
[1] 7.8
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 0.9615129

Préliminaire : puisque $\mathtt{(mean(yAP2-yAV)-1)}\simeq0.35$ est du même signe (i.e. positif que $\mathtt{deltaEst.H0}$ (car p-valeur gauche supérieure à $50\%$), on a :

variable d'intérêt : $Y^{D}=Y^{AP2}-Y^{AV}$
paramètre d'intérêt : $\mu^{D}$=moyenne de $Y^{D}$=$\mu^{AP2}-\mu^{AV}$

Hypothèses de test : $\mathbf{H}_0:$ $\mu^{D}=1$ vs $\mathbf{H}_1:$ $\mu^{D}>1$
Statistique de test sous $\mathbf{H}_0$ : $$ \widehat{ \delta_{\mu^{D},1} }\left({\bold{ { Y^{D} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ \mu^{D} }\left({\bold{ { Y^{D} } }}\right)-1}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ \mu^{D}}} }\left({\bold{ { Y^{D} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) $$
Règle de décision : Accepter $\mathbf{H}_1$ si p-valeur (droite) < $5\%$
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((mean(yAP2-yAV)-1)/seMean(yAP2-yAV))} \simeq 3.85\% < 5\%, $$ on peut (plutôt) penser (avec un risque de $5\%$) que le niveau de satisfaction de sa carte a augmenté de 1.