Quizz

De manière originale, ce cours met plus l'accent sur le langage mathématique que sur les techniques mathématiques dont les prérequis sont quasi inexistants. Il est donc important de le voir avant tout comme un cours de langue mais avec un nombre très limité de mots importants à apprendre.

Notations sur position du problème

Question 1: Comment désigne-t'on la population ?

Question 2: Comment désigne-t'on le paramètre d'intérêt ?

Question 3: Comment désigne-t'on l'échantillon du jour J ?

Question 4: Comment désigne-t'on la taille de la population totale ?

Question 5: Comment désigne-t'on la taille de l'échantillon du jour J ?

Question 6: Quel(s) choix correspond(ent) à une moyenne de 0 et 1 ?

Question 7: Dans ce cours, comment qualifions-nous le paramètre d'intérêt ?

INCONNU

aléatoire

CONNU

Question 8: Dans ce cours, comment doit être l'échantillon pour qu'il soit le plus représentatif possible d'une population (dont on a aucun a priori) ?

CONNU

aléatoire

INCONNU

Variable d'intérêt et échantillon

Un Modèle définit la nature d'une donnée qui est une réalisation de la variable d'intérêt et un Echantillon le jeu de données qui sont des réalisations indépendantes de la variable d'intérêt. Répondre au questionnaire suivant relatif aux notations du cours (voir Schéma A.E.P.) : $Y$, $y$, $y_{[k]}$, $\mathbf{Y}$, $\mathbf{y}$, $\mathbf{y}_{[k]}$.

Question 1: Parmi les propositions ci-dessous, cocher celles qui sont associées à $Y$ :

Question 2: Parmi les propositions ci-dessous, cocher celles qui sont associées à $y$ :

Question 3: Parmi les propositions ci-dessous, cocher celles qui sont associées à $y_{[k]}$ :

Question 4: Parmi les propositions ci-dessous, cocher celles qui sont associées à $\mathbf{Y}$ :

Question 5: Parmi les propositions ci-dessous, cocher celles qui sont associées à $\mathbf{y}$ :

Question 6: Parmi les propositions ci-dessous, cocher celles qui sont associées à $\mathbf{y}_{[k]}$ :

Question 7: Parmi les propositions ci-dessous, lesquelles sont vraies :

l'échantillon $\mathbf{y}$ du jour J est une réalisation du futur échantillon $\mathbf{Y}$ (avant le jour J)

l'échantillon $\mathbf{y}$ du jour J est un résultat parmi l'infinité des échantillons possibles $\mathbf{y}_{[1]}$, $\mathbf{y}_{[2]}$, $\ldots$

l'échantillon $\mathbf{y}$ est aléatoire

l'échantillon $\mathbf{y}$ est déterministe (non aléatoire)

l'échantillon $\mathbf{Y}$ est aléatoire

l'échantillon $\mathbf{Y}$ est déterministe (non aléatoire)

l'échantillon $\mathbf{y}_{[k]}$ est aléatoire

l'échantillon $\mathbf{y}_{[k]}$ est déterministe (non aléatoire)

Notations A.E.P. versus A.M.P

Question 1: Comment désigne t'on la moyenne (théorique) ou espérance de la variable d'intérêt dans l'A.M.P. ?

Question 2: Comment désigne t'on la moyenne (théorique) ou espérance de la variable d'intérêt dans l'A.E.P. ?

Question 3: Comment désigne t'on l'écart-type de la variable d'intérêt dans l'A.M.P. ?

Question 4: Comment désigne t'on l'écart-type de la variable d'intérêt dans l'A.E.P. ?

Question 5: Comment désigne t'on une probabilité (d'appartenance à un intervalle) d'une future estimation dans l'A.M.P. ?

Question 6: Comment désigne t'on une probabilité (d'appartenance à un intervalle) d'une future estimation dans l'A.E.P. ?

Question 7: Comment désigne t'on l'espérance d'une future estimation dans l'A.M.P. ?

Question 8: Comment désigne t'on l'écart-type d'une future estimation dans l'A.E.P. ?

Langage R dans ce cours

1) Soit $\texttt{y}\overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{sample(1:6,1000,replace=TRUE)}$ permettant de stocker dans la variable $\texttt{y}$ 1000 lancers de dés.

Question 1: Quelle instruction permet d'obtenir la somme totale des faces ?

$\texttt{mean(y==1)}$

$\texttt{ mean((y >= 2) \& (y <= 4)) }$

$\texttt{sd(y)}$

$\texttt{var(y)}$

$\texttt{sum(y)}$

$\texttt{sum(y<=4)}$

$\texttt{sqrt(var(y))}$

$\texttt{mean(y)}$

$\texttt{mean(y<=4)}$

Question 2: Quelle instruction permet d'obtenir la moyenne des faces ?

$\texttt{mean(y<=4)}$

$\texttt{sqrt(var(y))}$

$\texttt{sd(y)}$

$\texttt{sum(y)}$

$\texttt{var(y)}$

$\texttt{mean(y)}$

$\texttt{mean(y==1)}$

$\texttt{sum(y<=4)}$

$\texttt{ mean((y >= 2) \& (y <= 4)) }$

Question 3: Quelle instruction permet d'obtenir le nombre de faces entre 1 et 4 ?

$\texttt{mean(y==1)}$

$\texttt{mean(y)}$

$\texttt{sd(y)}$

$\texttt{sum(y)}$

$\texttt{sum(y<=4)}$

$\texttt{sqrt(var(y))}$

$\texttt{var(y)}$

$\texttt{mean(y<=4)}$

$\texttt{ mean((y >= 2) \& (y <= 4)) }$

Question 4: Quelle instruction permet d'obtenir la proportion de faces entre 2 et 4 ?

$\texttt{mean(y)}$

$\texttt{ mean((y >= 2) \& (y <= 4)) }$

$\texttt{var(y)}$

$\texttt{mean(y<=4)}$

$\texttt{sqrt(var(y))}$

$\texttt{sd(y)}$

$\texttt{mean(y==1)}$

$\texttt{sum(y<=4)}$

$\texttt{sum(y)}$

Question 5: Quelles instructions permettent d'obtenir l'écart-type des faces ?

$\texttt{mean(y==1)}$

$\texttt{sqrt(var(y))}$

$\texttt{ mean((y >= 2) \& (y <= 4)) }$

$\texttt{sum(y<=4)}$

$\texttt{mean(y<=4)}$

$\texttt{var(y)}$

$\texttt{mean(y)}$

$\texttt{sd(y)}$

$\texttt{sum(y)}$

2) Maintenant $\texttt{y}\overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{runif(1000)}$ correspondant à 1000 réels au hasard dans l'intervalle $[0,1]$

Question 6: Quelles instructions permettent d'obtenir des informations sur les 1000 données ?

Question 7: Quelles instructions permettent d'obtenir des informations sur une infinité de données ?

Question 8: Quelles instructions permettent d'obtenir des proportions sur les 1000 réels entre 0 et 1 ?

Question 9: Quelles instructions permettent d'obtenir des probabilités sur une variable aléatoire ?

L'objectif est ici de se tester après s'être familiarisé avec les animations graphiques proposées par l'application internet A.E.P.. Même si cette partie n'a pas été incluse dans la partie "langue", elle peut être considérée comme telle car elle est certainement la manière la plus efficace d'exprimer la connaissance dans le domaine des probabilités. Notamment l'objectif est de proposer un décodeur pour apprendre à interpréter les résultats obtenus par le calcul via l'A.M.P. par les "matheux" s'exprimant par : $Z\leadsto \mathcal{L}_0(\ldots)$

Loi de probabilité d'un variable d'intérêt via l'A.E.P.

$[m]$-Histogramme comme un $[m]$-mur de $[m]$-briques

Question 1: De combien de $[m]$-briques est constitué un $[m]$-histogramme ?

arbitraire

$1/m$

$m$

$1 = 100\%$

Question 2: Quelle est la surface totale d'un $[m]$-histogramme ?

$1 = 100\%$

$m$

$1/m$

arbitraire

Question 3: Quelle est la surface totale d'une $[m]$-brique ?

$m$

$1 = 100\%$

$1/m$

arbitraire

Question 4: Quelle est la largeur d'une $[m]$-brique pour une variable d'intérêt discrète?

Question 5: Quelle est la largeur d'une $[m]$-brique pour une variable d'intérêt continue?

Question 6: Que représente une $[m]$-brique ?

une réalisation de la variable d'intérêt $Y$

la moyenne des $m$ $y_{[k]}$

une modalité de la variable d'intérêt $Y$

un des $m$ $y_{[k]}$

$[\infty]$-Histogramme comme un $[\infty]$-mur de $[\infty]$-briques

Question 7: De combien de $[\infty]$-briques est constitué un $[\infty]$-histogramme ?

Question 8: Quelle est la surface totale d'un $[\infty]$-histogramme ?

Question 9: Quelle est la surface totale d'une $[\infty]$-brique ?

Question 10: Quelle est la largeur d'une $[\infty]$-brique pour une variable d'intérêt discrète?

Question 11: Quelle est la largeur d'une $[\infty]$-brique pour une variable d'intérêt continue?

Question 12: l'écart-type de tous les $y_{[k]}$ est représentée par un segment horizontal avec 2 flèches aux extrémités

vrai

faux

Question 13: la moyenne de tous les $y_{[k]}$ est représentée par une barre verticale

vrai

faux

Question 14: l'infinité de tous les $y_{[k]}$ sont représentés par des segments ("crêpes") pour une variable d'intérêt discrète

vrai

faux

Question 15: l'infinité de tous les $y_{[k]}$ sont représentés par des points pour une variable d'intérêt continue

vrai

faux

Question 16: l'infinité de tous les $y_{[k]}$ sont représentés par des segments ("crêpes") pour une variable d'intérêt continue

vrai

faux

Question 17: la moyenne de tous les $y_{[k]}$ est représentée par un segment horizontal avec 2 flèches aux extrémités

vrai

faux

Question 18: une réalisation de la variable d'intérêt $Y$ est représentée par une $[\infty]$-brique

vrai

faux

Question 19: choisir une nouvelle réalisation de $Y$ consiste à choisir un point au hasard dans l'$[\infty]$-histogramme et lire son abscisse

vrai

faux

Question 20: la variance de tous les $y_{[k]}$ est représentée par un segment vertical

vrai

faux

Question 21: choisir une nouvelle réalisation de $Y$ consiste à choisir un point au hasard dans l'$[\infty]$-histogramme et lire la valeur de l'$[\infty]$-brique associée

vrai

faux

Question 22: la variance de tous les $y_{[k]}$ est représentée par un segment horizontal avec 2 flèches aux extrémités

vrai

faux

Question 23: l'infinité de tous les $y_{[k]}$ sont représentés par des points pour une variable d'intérêt discrète

vrai

faux

Loi de probabilité d'un variable échantillonnale (i.e. une statistique) via l'A.E.P.

Questions préliminaires

L'évaluation des 2 questions suivantes n'a pas vraiment de sens.

Question 1: Avant d'avoir suivi le cours, aviez-vous une intuition (précise) sur la forme d'un $[\infty]$-histogramme d'une moyenne de $n=30$ lancers de dés ou de $n=30$ réels choisis au hasard dans $[0,1]$ ?

oui

non

ne se prononce pas

Question 2: Avant d'avoir suivi le cours, pensiez-vous qu'il existe une raison particulière pour que ces 2 $[\infty]$-histogrammes soient similaires ?

oui

non

ne se prononce pas

Loi de probabilités de moyenne échantillonnale

L'idée est ici de décrire ce qui se passe lorsqu'on exécute l'application internet [A.E.P.] pour illustrer la répartition d'une moyenne de $n=30$ (voire $n=20$ pour plus de confort visuel) lancers de dés ou réels choisis au hasard dans $[0,1]$ (ou tout autre expérience).

Question 1: Que représente une couleur à chaque nouvelle génération d'échantillons ?

un échantillon de taille $m$

une expérience parmi les $m$ réalisées

une expérience parmi les $n$ réalisées

un échantillon de taille $n$

Question 2: Combien y-a-t'il de couleurs différentes à chaque nouvelle génération d'échantillons ?

$n$

$m$ indiqué dans la partie basse rouge de l'application

$100\%$

$m$ indiqué dans la partie haute verte de l'application

Question 3: Quel est l'objectif de l'expérimentation ?

déterminer la forme de la répartition des $m$ moyennes accumulées après un très grand nombre d'expériences $m$ (partie basse rouge)

déterminer la forme de la répartition des $m$ moyennes à chaque nouvelle génération d'échantillons (partie haute verte)

vérifier expérimentalement que la forme de la répartition d'une moyenne d'un futur échantillon $\overline{Y}$ est approximativement celle d'une loi uniforme.

vérifier expérimentalement que la forme de la répartition d'une moyenne d'un futur échantillon $\overline{Y}$ est approximativement celle d'une loi "en bosse", à savoir une loi Normale.

Question 4: Au final, l'expérimentation nous montre que dès lors que l'échantillon est suffisamment grand ($n ≥ 30$) :

l'écart-type de l'ensemble de toutes les moyennes de tous les échantillons est égal à 0.

la moyenne de l'ensemble de toutes les moyennes de tous les échantillons est la moyenne de la population.

avant le jour J, nous pouvons représenter et visualiser l'ensemble de toutes les moyennes de tous les échantillons.

obtenir la moyenne d'un échantillon le jour J est (approximativement) équivalent à lire l'abscisse d'un point au hasard choisi au hasard sous une loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma_{\widehat\mu})$.

obtenir la moyenne d'un échantillon le jour J est (approximativement) équivalent à choisir un point au hasard sous une loi $\mathcal{U}([0,1])$.

Après avoir exprimé via le décodeur le comportement aléatoire d'une moyenne echantillonale comme une loi Normale, nous nous intéressons à la qualité d'une estimation $\widehat{ \mu }\left({\mathbf{ { y } }}\right)$ d'une moyenne $\mu$, mesurée par l'écart-type $\sigma_{\widehat{\mu}}$ de toutes les estimations. Cette qualité d'estimation est estimée avec le même échantillon $\mathbf{y}$ du jour J par l'erreur standard $\widehat{ \sigma_{\widehat{\mu}} }\left({\mathbf{ { y } }}\right)$. En combinant ces deux résultats (comportement aléatoire des estimations et leur qualité), on peut construire proposer le meilleur outil pour estimer un paramètre INCONNU à savoir : l'Intervalle de Confiance. L'interprétation de cet outil via l'A.E.P. est illustrée avec l'application internet A.E.P..

Estimation

Question 1: Comment désigne-t'on l'échantillon du Jour J ?

$\boldsymbol{Y}_{[k]}^\bullet$

$\boldsymbol{Y}_\bullet^{[k]}$

$\boldsymbol{y}_{[k]}^\bullet$

$\boldsymbol{y}_\bullet^{[k]}$

$\boldsymbol{Y}^\bullet$

$\boldsymbol{y}^\bullet$

Question 2: Comment désigne-t'on un possible échantillon du jour J ?

$\boldsymbol{Y}^\bullet$

$\boldsymbol{y}_{[k]}^\bullet$

$\boldsymbol{Y}_\bullet^{[k]}$

$\boldsymbol{y}^\bullet$

$\boldsymbol{Y}_{[k]}^\bullet$

$\boldsymbol{y}_\bullet^{[k]}$

Question 3: Comment désigne-t'on le futur echantillon qu'on obtiendra le jour J ?

$\boldsymbol{y}_\bullet^{[k]}$

$\boldsymbol{Y}_{[k]}^\bullet$

$\boldsymbol{y}^\bullet$

$\boldsymbol{Y}_\bullet^{[k]}$

$\boldsymbol{y}_{[k]}^\bullet$

$\boldsymbol{Y}^\bullet$

Question 4: Comment désigne t'on l'estimation du jour J du paramètre d'intérêt de manière générale (sans préciser sa nature) ?

$\widehat{\theta^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\sigma^2_{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{p^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^D}(\boldsymbol{y}^D)$

$\widehat{d_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

Question 5: Comment désigne t'on l'estimation du jour J du paramètre d'intérêt de type proportion ?

$\widehat{r_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^D}(\boldsymbol{y}^D)$

$\widehat{p^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\theta^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\sigma^2_{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

Question 6: Comment désigne t'on l'estimation du jour J du paramètre d'intérêt de type moyenne ?

$\widehat{p^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\theta^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^D}(\boldsymbol{y}^D)$

$\widehat{\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\sigma^2_{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

Question 7: Comment désigne t'on l'estimation du jour J du paramètre d'intérêt de type moyenne de différence ?

$\widehat{d_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\sigma^2_{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{p^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^D}(\boldsymbol{y}^D)$

$\widehat{\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\theta^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

Question 8: Comment désigne t'on l'estimation du jour J du paramètre d'intérêt de type variance ?

$\widehat{\mu^D}(\boldsymbol{y}^D)$

$\widehat{d_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{p^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\sigma^2_{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\theta^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

Question 9: Comment désigne t'on l'estimation du jour J du paramètre d'intérêt de type différence de moyennes ?

$\widehat{\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\theta^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\sigma^2_{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^D}(\boldsymbol{y}^D)$

$\widehat{p^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

Question 10: Comment désigne t'on l'estimation du jour J du paramètre d'intérêt de type rapport de moyennes ?

$\widehat{d_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{p^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\sigma^2_{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\theta^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^D}(\boldsymbol{y}^D)$

$\widehat{d_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

Question 11: Comment désigne t'on l'estimation du jour J du paramètre d'intérêt de type différence de variances ?

$\widehat{\sigma^2_{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\theta^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^D}(\boldsymbol{y}^D)$

$\widehat{r_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{p^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

Question 12: Comment désigne t'on l'estimation du jour J du paramètre d'intérêt de type rapport de variances ?

$\widehat{\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{p^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\mu^D}(\boldsymbol{y}^D)$

$\widehat{r_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\theta^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{d_\mu^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{\sigma^2_{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

$\widehat{r_{\sigma^2}^{\bullet}}(\boldsymbol{y}^\bullet)$

Qualité d'estimation

Question 1: Sélectionner la (les) quantité(s) que l'on souhate proche en fait égale au paramètre d'intérêt $\theta$ ?

Question 2: Quelle quantité mesure la qualité d'estimation de $\theta$ ?

Question 3: Quelle est la notation mathématique pour désigner dans le cours la qualité d'estimation de $\theta$ ?

Question 4: Comment désigne-t-on l'estimation de la qualité d'estimation de $\theta$ ?

écart standard

$\texttt{seMean(y)}$

$\texttt{seDMean(y)}$

erreur standard

$\frac{\widehat{ \mu }\left({\mathbf{ { y } }}\right)}{\sqrt{n}}$

$\widehat{ \sigma_{\widehat\theta} }\left({\mathbf{ { y } }}\right)$

Question 5: Comment appelle-t-on l'estimation de la qualité d'estimation ?

$\widehat{ \sigma_{\widehat\theta} }\left({\mathbf{ { y } }}\right)$

$\frac{\widehat{ \mu }\left({\mathbf{ { y } }}\right)}{\sqrt{n}}$

écart standard

$\texttt{seMean(y)}$

erreur standard

$\texttt{seDMean(y)}$

Question 6: Comment calcule-t-on en R l'estimation de la qualité d'estimation d'un paramètre de moyenne ?

écart standard

$\frac{\widehat{ \mu }\left({\mathbf{ { y } }}\right)}{\sqrt{n}}$

$\widehat{ \sigma_{\widehat\theta} }\left({\mathbf{ { y } }}\right)$

$\texttt{seDMean(y)}$

erreur standard

$\texttt{seMean(y)}$

Question 7: Pour un paramètre de moyenne, quelle est la formule (mathématique) d'obtention par l'A.M.P de l'estimation de la qualité de l'estimation ?

écart standard

erreur standard

$\texttt{seDMean(y)}$

$\widehat{ \sigma_{\widehat\theta} }\left({\mathbf{ { y } }}\right)$

$\frac{\widehat{ \mu }\left({\mathbf{ { y } }}\right)}{\sqrt{n}}$

$\texttt{seMean(y)}$

Intervalle de confiance

(1) Nous nous plaçons dans le cas où nous disposons d'un échantillon $\mathbf{y}$ de taille $n=1000$.

Question 1: La formule d'obtention d'un intervalle de confiance à 95% (de confiance) du jour J est : estimation plus ou moins (en fait, moins ou plus) l'erreur standard.

vrai

faux

Question 2: Le coefficient 2 apparaissant dans la formule de la marge d'erreur d'un intervalle de confiance à 95% est l'approximation de 1.96 correspondant au quantile d'ordre 95% d'une loi $\mathcal{N}(0,1)$.

vrai

faux

Question 3: Le coefficient 2 apparaissant dans la formule de la marge d'erreur d'un intervalle de confiance à 95% est l'approximation de 1.96 correspondant au quantile d'ordre 97.5% d'une loi $\mathcal{N}(0,1)$.

vrai

faux

Question 4: La formule d'obtention d'un intervalle de confiance à 95% du jour J est : estimation plus ou moins (en fait, moins ou plus) une marge d'erreur égale approximativement à 2 fois l'erreur standard.

vrai

faux

Question 5: Comment désigne-t'on l'intervalle de confiance du jour J pour un paramètre de moyenne ?

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ Y }}\right)$

$IC_{{ \sigma}}\left({\mathbf{ y }}\right)$

$IC_{{ \sigma^2}}\left({\mathbf{ Y }}\right)$

$IC_{{ \sigma^2}}\left({\mathbf{ y }}\right)$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right)$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y_{[k]} }}\right)$

Question 6: Comment désigne-t'on l'intervalle de confiance du jour J pour un paramètre de variance ?

$IC_{{ \sigma}}\left({\mathbf{ y }}\right)$

$IC_{{ \sigma^2}}\left({\mathbf{ y }}\right)$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y_{[k]} }}\right)$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ Y }}\right)$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right)$

$IC_{{ \sigma^2}}\left({\mathbf{ Y }}\right)$

Question 7: Le niveau de confiance 95% d'un intervalle de confiance à 95% pour un paramètre de moyenne s'exprime dans l'A.M.P. par

${\overleftrightarrow{\left({ μ ∈ IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y_{[\cdot]} }}\right)}\right)}_{ \infty}}≃ 95\%$

$\mathbb{P}(μ ∈ IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ Y }}\right))≃ 95\%$

$\mathbb{P}(μ ∈ IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right))≃ 95\%$

$\overline{\left({ μ ∈ IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y_{[\cdot]} }}\right)}\right)}_{ \infty}≃ 95\%$

Question 8: Le niveau de confiance 95% d'un intervalle de confiance à 95% pour un paramètre de moyenne s'exprime dans l'A.E.P. par

$\mathbb{P}(μ ∈ IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ Y }}\right))≃ 95\%$

$\overline{\left({ μ ∈ IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y_{[\cdot]} }}\right)}\right)}_{ \infty}≃ 95\%$

${\overleftrightarrow{\left({ μ ∈ IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y_{[\cdot]} }}\right)}\right)}_{ \infty}}≃ 95\%$

$\mathbb{P}(μ ∈ IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right))≃ 95\%$

(2) L'échantillon $\mathbf{y}$ est quelconque. Donc, nous ne supposons plus que la taille d'échantillon est $n=1000$

Question 9: En R, la formule d'obtention de l 'intervalle de confiance à 95% du jour J, pour un paramètre de moyenne $\mu$ et pour un échantillon de taille $n=100$, est :

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qnorm(.95)*seVar(y)}$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qnorm(.975)*seMean(y)}$

$IC_{{ \sigma^2}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{var(y)+c(-1,1)*qnorm(.975)*seVar(y)}$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qt(.975,9)*seMean(y)}$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qt(.975,9)*seVar(y)}$

Question 10: En R, la formule d'obtention de l 'intervalle de confiance à 95% du jour J, pour un paramètre de moyenne $\mu$ et pour un échantillon de taille $n=10$, est :

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qnorm(.95)*seVar(y)}$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qt(.975,9)*seVar(y)}$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qt(.975,9)*seMean(y)}$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qnorm(.975)*seMean(y)}$

$IC_{{ \sigma^2}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{var(y)+c(-1,1)*qnorm(.975)*seVar(y)}$

Question 11: En R, la formule d'obtention de l 'intervalle de confiance à 95% du jour J, pour un paramètre de variance $\sigma^2$ et pour un échantillon de taille $n=100$, est :

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qnorm(.95)*seVar(y)}$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qt(.975,9)*seMean(y)}$

$IC_{{ \sigma^2}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{var(y)+c(-1,1)*qnorm(.975)*seVar(y)}$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qt(.975,9)*seVar(y)}$

$IC_{{ \mu}}\left({\mathbf{ y }}\right) \overset{\mathtt{R}}{=}\texttt{mean(y)+c(-1,1)*qnorm(.975)*seMean(y)}$

A partir de l'application internet Hypo, nous abordons la construction d'outil d'aide à la décision d'une affirmation d'intérêt s'exprimant comme une comparaison du paramètre d'intérêt avec une valeur de référence : pour l'exemple de la problématique de industriel,
- pour le produit A: $p^A >15\%$
- pour le produit B : $\mu^B > 0.15$
La première astuce consiste à réécrire l'Affirmation d'intérêt à partir d'un paramètre d'écart (écart standardisé entre paramètre d'intérêt et valeur de référence) : pour la problématique de l'industriel,
- pour le produit A : $\delta_{p^A,15\%}:=\frac{p^A - 15\%}{\sqrt{\frac{15\% \times 85\%}n}}>0$
- pour le produit B : $\delta_{\mu^B,0.15}:=\frac{\mu^B - 0.15}{\sigma_{\widehat{\mu}^B}}>0$
Le deuxième ingrédient est de considérer (grâce au merveilleux décodeur) le comportement aléatoire de l'ensemble de toutes les estimations du paramètre d'écart dans la pire des (mauvaises) situations.

Outil d'aide à la décision produit B

La série de questions suivantes concerne la problématique du produit B de l'industriel.

Question 1: Quelle(s) proposition(s) exprime(nt) l'affirmation d'intérêt ?

plus de 300000 exemplaires du produit B doit être vendu pour qu'il soit rentable

$\delta_{\mu^B,0.15} < 0$

$\mu^B = 0.1$

$\delta_{\mu^B,0.15} := \frac{\mu^B-0.15}{\sigma_{\widehat{\mu^B}}} > 0$

$\mu^B < 0.2$

$\delta_{\mu^B,0.15} > 0.15$

$\mu^B > 0.15$

plus de 2000000 exemplaires du produit B doit être vendu pour qu'il soit rentable

$\mu^B > 300000$

$\mu^B = 0.15$

$\mu^B ≥ 0.15$

Question 2: Sélectionner les propositions ci-dessous qui sont vraies.

le seuil de rentabilité sur un échantillon s'obtient en R par : $\delta_{lim,5\%}^{+} \overset{\mathtt{R}}{=} \texttt{qnorm(.95)}$

le seuil de rentabilité sur un échantillon s'obtient en R par : $\delta_{lim,5\%}^{+} \overset{\mathtt{R}}{=} \texttt{qnorm(.975)}$

le seuil de rentabilité sur un échantillon se détermine avant le jour J

l'industriel décide de lancer le produit si $\widehat{ \delta_{\mu^B,0.15} }\left({\mathbf{ { y } }}\right) < \delta_{lim,2.5\%}^{+}$

le seuil de rentabilité sur un échantillon, correspondant à la notation du cours $\delta_{lim,5\%}^{+}$, est le quantile d'ordre $95\%$ d'une loi $\mathcal{N}(0,1)$

la pire des (mauvaises) situations correspond à la situation où le risque de devenir pauvre est maximal

la pire des (bonnes) situations correspond à la situation où le risque de ne pas devenir riche est minimal

l'industriel décide de lancer le produit si $\widehat{ \delta_{\mu^B,0.15} }\left({\mathbf{ { y } }}\right) > \delta_{lim,5\%}^{+}$

se placer dans la pire des situations permet de contrôler tous les mauvaises situations où l'industriel risque de devenir pauvre en se basant sur l'échantillon du Jour J

le seuil de rentabilité sur un échantillon se détermine le jour J et pas avant

le seuil de rentabilité sur un échantillon, correspondant à la notation du cours $\delta_{lim,5\%}^{+}$, est le quantile d'ordre $97.5\%$ d'une loi $\mathcal{N}(0,1)$

se placer dans la pire des situations permet de contrôler tous les mauvaises situations où l'industriel risque de ne pas devenir riche en se basant sur l'échantillon du Jour J

Question 1: Quelles sont les bonnes situations pour l'industriel ?

Question 2: Quelles sont les mauvaises situations pour l'industriel ?

Question 3: Quelle est la pire (des mauvaises) situation(s) pour l'industriel ?

Question 4: Sélectionner les erreurs de décision ?

décision conduisant à devenir riche

décision conduisant à devenir pauvre à tort

$\mu^B > 0.15$ et $\widehat{ \delta_{\mu^B,0.15} }\left({\mathbf{ { y } }}\right) ≯ \delta_{\lim}^+$

$\mu^B > 0.15$ et $\widehat{ \delta_{\mu^B,0.15} }\left({\mathbf{ { y } }}\right)>\delta_{\lim}^+$

$\mu^B ≤ 0.15$ et $\widehat{ \delta_{\mu^B,0.15} }\left({\mathbf{ { y } }}\right)>\delta_{\lim}^+$

$\mu^B ≤ 0.15$ et $\widehat{ \delta_{\mu^B,0.15} }\left({\mathbf{ { y } }}\right) ≯ \delta_{\lim}^+$

décision conduisant à ne pas devenir riche à tort

décision conduisant à ne pas devenir pauvre

Question 5: Sélectionner les propositions ci-dessous qui sont vraies.

on peut contrôler le risque le plus grave à savoir le risque de ne pas devenir riche

on peut contrôler le risque le plus grave à savoir le risque de devenir pauvre

la somme des 2 risques d'erreur de décision possibles vaut 100%

les 2 risques d'erreur de décision possibles peuvent simultanément être raisonnablement petits.

on ne peut contrôler aucun des risques d'erreur de décision

Question 6: Sélectionner les propositions ci-dessous qui sont vraies.

la p-valeur est le (plus petit) risque (maximal) de devenir pauvre à encourir pour décider de lancer le produit B à partir de l'échantillon du jour J

la p-valeur s'obtient en R par: $\texttt{pnorm((mean(yB)-.15)/seMean(yB))}$

la p-valeur s'obtient avant le jour J

la p-valeur est le (plus grand) risque (minimal) de ne pas devenir riche à encourir pour décider de lancer le produit B à partir de l'échantillon du jour J

la p-valeur s'obtient en R par: $\texttt{1-pnorm((var(yB)-.15)/seVar(yB))}$

la p-valeur s'obtient en R par: $\texttt{1-pnorm((mean(yB)-.15)/seMean(yB))}$

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